Cálculo diferencial: la guía que ojalá hubiera tenido en primer año

El cálculo diferencial asusta más por su fama que por su dificultad real. En el fondo, una derivada solo responde una pregunta sencilla: ¿qué tan rápido cambia algo? Vamos a construir esa idea desde cero.

# La intuición detrás de la derivada

Imagina que vas en carro y miras el velocímetro. Ese número es la derivada de tu posición respecto al tiempo: cuánto cambia tu posición en cada instante. La derivada es, literalmente, una velocidad de cambio.

$$v(t)=\frac{ds}{dt}$$

# La definición formal

Formalmente, la derivada de una función en un punto se define como el límite del cociente incremental:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

# Reglas de derivación

En la práctica casi nunca usamos la definición por límites. Memorizas unas pocas reglas y todo se vuelve mecánico. La más usada es la regla de la potencia:

$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n{x}^{n-1}$$

• Regla de la suma: la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
• Regla del producto: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$.
• Regla de la cadena: para funciones compuestas.

# Un ejemplo resuelto

Deriva la siguiente función. Este es exactamente el estilo de problema que aparece en los exámenes de primer año:

$$f(x)=3x^4-5x^2+7x-2$$

Aplicando la regla de la potencia término por término obtenemos:

$$f^{\prime }(x)=12x^3-10x+7$$

# Aplicaciones reales

Las derivadas no son solo teoría: se usan para encontrar máximos y mínimos (optimización), modelar crecimiento de poblaciones, calcular costos marginales en economía y mucho más. En ingeniería las verás en absolutamente todos lados.

Una vez que entiendes que derivar es medir cambio, el cálculo deja de ser fórmulas sueltas y empieza a tener sentido.